啥都不会啊QAQ

1.实数集与函数

1.实数

设$a,b,c \in R^+$,证明$|\sqrt{a^2+b^2} - \sqrt{a^2+c^2}| \leq |b - c|$

证明:首先两边同时乘以$|\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2+c^2}|$后有

$|a^2+b^2-a^2-c^2| \leq |b - c| \times |\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2+c^2}|$

化简之后可以得到

$|b + c| \leq |\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2+c^2}|$

又$|b + c| \leq |b| + |c|$ ,则只需证明$|b| + |c| \leq |\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2+c^2}|$

又$\sqrt{x}$显然大于$0$,则$\sqrt{a^2+b^2}$显然大于$|b|$,同理,$\sqrt{a^2+c^2}$显然大于$|c|$

得证.

$QED$

下面我们来讨论这个柿子的几何意义

我们将这个柿子做一个简简单单的变换

$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(a-0)^2+(b-0)^2 }$

即这个柿子可以看成点$(a,b)$到原点的距离,同理,后边的那个柿子可以看成点$(a,c)$到原点的距离.那么那个大柿子就可以看作两点到原点距离之差,而我们又发现这两点之间的距离就等于$|b-c|$.而这两个点与原点又可以构成三角形.所以几何意义显然

三角形两边之差小于第三边.

~~不会了xd~~

因为知道了自己是多么的菜,所以才要更加努力去追求那个永远也不可能实现的梦想